寒假闭关的时光枯燥却充实，凌凡感觉自已的物理知识体系日益坚固，对能量、动量这些新观念的理解也愈发深刻。然而，真正的掌握，不仅在于自已能解出多难的题，更在于能否将复杂的思路清晰地传达给别人，并让对方理解。这个机会，在新学期开学不久后，便由他的“开山大弟子”赵鹏送上门来。

    一个课间，赵鹏哭丧着脸，拿着一本厚厚的物理练习册蹭到凌凡旁边，指着一道画满了各种力、看起来异常复杂的题目。

    “凡哥！救命啊！这道题我做了一晚上，头发都快薅秃了！用牛顿定律解，受力分析搞得我想死，方程列了一堆，根本解不出来！”赵鹏的声音充满了绝望。

    凌凡接过练习册，题目如下：

    【题目】：如图，一轻弹簧一端固定于墙面，另一端与质量为的物体a相连，a置于光滑水平面上。另一质量为2的物体b以初速度v?冲向a。已知弹簧劲度系数为k，且b与a之间的摩擦因数为μ。假设b与a接触后能共同运动（即不分离）。求： （1）b与a刚达到共同速度时，弹簧的压缩量x?。 （2）ab共同体向右运动的最大距离x_ax。

    凌凡快速扫题。涉及碰撞（可能非弹性）、弹簧、摩擦力、共同运动……过程复杂。若用牛顿定律，需要分析a、b各自的受力（弹簧弹力、相互摩擦力）、加速度变化，这确实是场噩梦，需要列出微分方程，远超高中范围。

    但他嘴角却露出一丝微笑。这道题，简直是为他量身定做的，用来展示能量观点和动量观点在处理复杂过程时化繁为简的威力！

    “鹏啊，”凌凡放下练习册，看着赵鹏，“你掉进‘牛顿定律’的陷阱里了。这道题，谁用牛顿定律谁傻。来，今天哥教你点高级的——能量观和动量观。”

    赵鹏眼睛一亮，立刻搬来椅子，拿出小本本，一副虔诚听讲的模样。

    “首先，建模。”凌凡拿起笔，在草稿纸上画图，“对象：a和b。环境：光滑水平面（无摩擦）、弹簧、b和a之间有滑动摩擦。过程：b撞a，然后一起运动压缩弹簧。”

    “整个过程很复杂，但我们不关心细节。我们只关心几个关键的状态和整个系统的能量、动量变化。这就是能量和动量观点的精髓——绕过过程细节，直击首尾状态。”

    “先看第（1）问：求b与a刚达到共同速度时，弹簧的压缩量x?。”凌凡圈出“刚达到共同速度”这几个字。 “‘刚达到共同速度’意味着什么？意味着碰撞过程刚刚结束！b和a获得了相同的速度，但此时弹簧可能已经被压缩了一点（x?≠0）。” “这个过程，从b接触a开始，到两者共速结束。在这个过程中，系统（a+b）水平方向受外力吗？”凌凡提问。

    赵鹏仔细看：“墙对弹簧的拉力？……哦！弹簧是轻弹簧，墙对弹簧的拉力是内力！水平方向无外力！所以……系统动量守恒！”

    “bgo！”凌凡赞赏地点头，“所以，对于第（1）问，从开始到共速，我们首先用动量守恒定律！” “设共同速度为v共。” “初态动量：只有b有动量，p初 = 2  v?” （设向右为正） “末态动量：(+ 2)  v共 = 3 v共” “列方程：2 v?= 3 v共 =＞ v共 = (2/3)v?”

    “看，一步到位，求出了共同速度。”凌凡轻松地说。 “但是……这还没完，问的是弹簧压缩量x?啊？”赵鹏疑惑道。

    “别急。”凌凡老神在在，“动量守恒只给了我们速度关系。现在，关注能量。从b接触a开始，到两者共速结束，这个过程能量守恒吗？”

    赵鹏思考：“有滑动摩擦力！b和a之间有相对滑动，摩擦力做功，肯定有机械能损失！所以机械能不守恒。”

    “非常对！”凌凡肯定道，“所以，我们不能用机械能守恒。但是，我们可以用能量转化和守恒的普遍观点！或者说，用功能关系！” “在这个过程中，系统总机械能的减少量，等于摩擦力克服相对滑动所做的功（转化为内能）。” “我们来计算一下。” “初态机械能e初：只有b的动能，(1/2)2v?2 =  v?2” “末态机械能e末：a和b的共同动能+ 弹簧的弹性势能” “共同动能：(1/2)3(v共)2 = (1/2)3(4/9 v?2) = (2/3) v?2” （代入v共=(2/3)v?） “弹簧弹性势能：(1/2)k x?2” “所以 e末= (2/3) v?2 + (1/2)k x?2” “机械能损失：Δe = e初 - e末 =  v?2 - [ (2/3) v?2 + (1/2)k x?2 ] = (1/3) v?2 - (1/2)k x?2” “这部分损失的能量，去哪儿了？”凌凡引导。

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    “变成内能了！摩擦力生热！”赵鹏回答。 “对！而生热 q= f滑  s相对”。赵鹏补充。 “f滑= μ  n。这里n是b和a之间的正压力。由于是水平面，n = g_b = 2g？不对！”凌凡立刻纠正，“a和b之间的正压力，对于b来说，就是a对b的支持力，大小等于b的重力2g？但a在水平面上，竖直方向平衡，所以a对b的支持力确实等于b的重力2g。所以f滑 = μ  2g。” “s相对是b相对于a的位移。从b接触a，到ab共速，b相对于地面向右运动了s_b，a相对于地面也向右运动了s_a，那么b相对于a的位移s相对= s_b - s_a。”

    “s_b和s_a不一样，求起来好像又麻烦了？”赵鹏刚燃起的希望又有点熄灭。

    “所以我们换个思路！”凌凡早有准备，“我们不对系统用功能原理，而是对单个物体用动能定理！往往更简单！” “对物体b分析！”凌凡画出示意图，“b受到向左的摩擦力f滑= μ2g。” “从开始到共速，b的动能变化：Δek_b= (1/2)2(v共)2 - (1/2)2v?2 = (4/9 v?2) -  v?2 = (-5/9) v?2” （减少） “根据动能定理，合外力对b做的功等于b动能的变化。这个合外力就是摩擦力（负功）。” “所以：- f滑  s_b = Δek_b = (-5/9) v?2” （s_b是b对地的位移） “即：μ2g  s_b = (5/9) v?2 =＞ s_b = (5 v?2) / (18 μg)”

    “对物体a分析！”凌凡继续，“a受到向右的摩擦力f滑 = μ2g（作用力与反作用力）和向左的弹簧弹力f弹（是个变力，从0增大到k x?）。” “从开始到共速，a的动能变化：Δek_a= (1/2)(v共)2 - 0 = (1/2)(4/9 v?2) = (2/9) v?2” （增加） “根据动能定理，合外力对a做的功等于a动能的变化。合外力做功= 摩擦力做功（正功） + 弹力做功（负功）。” “摩擦力做功：+ f滑  s_a = μ2g  s_a” “弹力做功：w弹 = - (1/2)k x?2” （弹力做负功，大小等于弹性势能增加量） “所以：μ2g  s_a - (1/2)k x?2 = Δek_a = (2/9) v?2” (1)式

    “现在我们有两个方程，但有三个未知数：s_a, s_b, x?。还差一个关系。”凌凡看着赵鹏。 赵鹏皱着眉头，忽然灵光一闪：“弹簧的压缩量x?！不就是a相对于墙的位移吗？而a是从静止开始向右运动的，所以s_a = x?对不对？因为墙没动！”

    “太对了！”凌凡用力一拍赵鹏的肩膀，“关键点！对于一端固定的弹簧，物体的位移就等于弹簧的形变量！ 所以 s_a = x?！”

    “代入(1)式：” “μ2g  x? - (1/2)k x?2 = (2/9) v?2” (2)式 “而我们之前由b的动能定理得到了：s_b = (5 v?2) / (18 μg)” “我们还知道相对位移：s相对 = s_b - s_a = s_b - x?” “而摩擦力生热 q= f滑  s相对 = μ2g  (s_b - x?)” “另一方面，系统机械能损失 Δe= (1/3) v?2 - (1/2)k x?2” “根据能量守恒，Δe= q” “所以：(1/3) v?2 - (1/2)k x?2 = μ2g  (s_b - x?)” “将s_b代入：” “(1/3) v?2 - (1/2)k x?2 = μ2g  ( (5 v?2)/(18μg) - x? )” “化简，两边同时除以：” “(1/3)v?2 - (1/2)(k/) x?2 = 2μg  ( (5 v?2)/(18μg) - x? ) = (10/18)v?2 - 2μg x? = (5/9)v?2 - 2μg x?” “整理方程：” “(1/3)v?2 - (5/9)v?2 + 2μg x? - (1/2)(k/) x?2 = 0” “(-2/9)v?2 + 2μg x? - (1/2)(k/) x?2 = 0” “两边乘以18以消去分母：” “-4 v?2 + 36μg x? - 9 (k/) x?2 = 0” “即：9 (k/) x?2 - 36μg x? + 4 v?2 = 0” “这就是关于x?的一元二次方程，解之即可得到x?。”

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